plan は「計画」という意味であり、名詞と動詞として使われます。plan はいくつかのパータンでも使われます。

• I plan to (動詞の原形)
  ～する予定です
• I am planning to (動詞の原形)
  ～する予定です
• I plan on (動名詞)
  ～する予定です
• I am planning on (動名詞)
  ～する予定です

上記のパターンは全部「～する予定です」の意味で使われますが、使い方はちょっと違います。(I) plan to … / (I) (am) planning to … には動詞の原形を付けます。

Example 1
I plan to go to Tokyo tomorrow.
明日は東京に行く予定です。
I am planning to go to Tokyo tomorrow.
明日は東京に行く予定です。

Example 2
She plans to eat dinner with her friend.
彼女は友達と一緒にご飯を食べる予定です。
She is planning to eat dinner with her friend.
彼女は友達と一緒にご飯を食べる予定です。

Example 3
We plan to go to Ehime on vacation next month.
私達は来月休暇で愛媛県へ行く予定です。
We are planning to go to Ehime on vacation next month.
私達は来月休暇で愛媛県へ行く予定です。

I plan on … / I am planning on … のパータンは同じ意味ですけど、動名詞と一緒に使われます。例文をお見せします。

Example 1
I plan on going to Tokyo tomorrow.
明日は東京に行く予定です。
I am planning on going to Tokyo tomorrow.
明日は東京に行く予定です。

Example 2
She plans on eating dinner with her friend.
彼女は友達と一緒にご飯を食べる予定です。
She is planning on eating dinner with her friend.
彼女は友達と一緒にご飯を食べる予定です。

Example 3
We plan on going to Ehime on vacation next month.
私達は来月休暇で愛媛県へ行く予定です。
We are planning on going to Ehime on vacation next month.
私達は来月休暇で愛媛県へ行く予定です

Are you planning to … ?

上記のパータンの疑問形は次の通りです。

• Do you plan to (動詞の原形)?
  ～する予定ですか？
• Are you planning to (動詞の原形)?
  ～する予定ですか？
• Do you plan on (動名詞)?
  ～する予定ですか？
• Are you planning on (動名詞)?
  ～する予定ですか？

使い方は他の疑問文と同じですね。いくつかの例文をおみせします。

Example 1
Do they plan to go to Ehime on vacation next month?
彼らは来月休暇で愛媛県へ行く予定ですか？
Are they planning to go to Ehime on vacation next month?
彼らは来月休暇で愛媛県へ行く予定ですか？

Example 2
Do you plan on working in Tokyo tomorrow?
明日は東京で働く予定ですか？
Are you planning on working in Tokyo tomorrow?
明日は東京で働く予定ですか？