(to) grab a bite to eat とは「軽く食べる」「少し何かを食べる」という意味です。それで「何か食べに行こう」とは、英語で Let’s go grab a bite to eat と言います。食事をするつもりではなかったのに、急にお腹が空いてしまった時にもよく使われるフレーズです。(to) eat がなくて (grab a bite) も言えます。

• Do you want to grab a bite to eat?
  軽く何か食べない？
• Let’s go grab a bite to eat!
  何かちょっと食べに行こう！
• Shall we go grab a bite?
  食事に行きましょうか？
• Let’s go grab a bite somewhere tonight.
  今夜はどこかに食べに行こう。
• I went to go get a bite to eat.
  何か食べにいきました